Matematika "APROKSIMASI KESALAHAN"

A.    Pengertian Aproksimasi
Dalam percakapan sehari-hari, sering kita menyebut suatu bilangan, misalnya “ Keranjang ini isinya 12 butir telur ”, atau “ Model pakaian ini memerlukan kain 3 meter ” . Dua contoh kalimat tadi menyebut bilangan yang diperoleh secara berbeda, yaitu bilangan 12 diperoleh dari kegiatan “ membilang ” karena bilangan yang dimaksud adalah eksak yang hanya ada satu jawaban yang tepat untuk persoalan itu, sedangkan bilangan 3 diperoleh dari “ pengukuran ” karena bilangan yang didapat hasilnya tidak pasti ( tidak eksak ) mungkin 2,99… meter, sehingga dibulatkan saja menjadi 3 meter. Dari kegiatan pengukuran tersebut walaupun telitinya dalam mengadakan suatu pengukuran, tidak akan dapat menyatakan ukuran yang tepat, meskipun suatu ukuran yang demikian itu ada. Dengan demikian bilangan yang diperoleh dari mengukur itu hanyalah pendekatan atau pembulatan. Pembulatan seperti ini disebut aproksimasi.

1.    Pembulatan ke Ukuran Satuan Terdekat

Contoh :
a.    165,5 cm  = 166 cm , dibulatkan ke cm terdekat
b.    2, 43 kg   = 12 kg , dibulatkan ke kg terdekat
c.    14,16 detik  = 14,2 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat


2.    Pembulatan ke Banyaknya Angka-angka Desimal
Contoh :
5,47035  =  5,4704 dibulatkan sampai empat tempat desimal
= 5,470  dibulatkan sampai tiga tempat desimal
= 5,47  dibulatkan sampai dua tempat desimal
= 5,5   dibulatkan sampai satu tempat desimal



3.    Pembulatan ke Banyaknya Angka-angka yang Signifikan
mempunyai 2 angka yang signifikan.
Jika diketahui suatu bilangan, berikut adalah aturan-aturan untuk menentukan angka-angka mana yang signifikan :
a.    Angka yang tidak nol selalu signifikan
b.    Angka “ 0 “ itu signifikan jika letaknya diantara angka-angka yang signifikan.
c.    Angka “ 0 “ itu tidak pernah signifikan jika mendahului angka-angka yang tidak nol bahkan jika angka-angka nol itu muncul sesudah tanda tempat desimal
d.    Angka “ 0 “ itu signifikan jika muncul setelah tanda tempat desimal dan angka-angka lain yang signifikan
e.    Angka “ 0 “ pada suatu bilangan, khususnya yang ditandai “strip “ atau “ bar “ adalah signifikan.
Contoh :
1)    807003    Disini mempunyai 6 angka signifikan.
2)    032,00 m.  Dua angka nol ( dibelakang ) di sini menyatakan bahwa panjang telah diukur sampai ke perseratusan meter terdekat, jadi signifikan, di sini ada 4 angka signifikan
3)     0,0720 km. Dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, jadi tidak signifikan. Nol yang ketiga menunjukkan bahwa panjang telah diukur sampai ke persepuluhan meter, jadi signifikan. Di sini ada 3 angka signifikan


1.    Salah Mutlak
Pandanglah pengukuran suatu panjang baut. Jika kita menggunakan penggaris yang ditera dalam sentimeter, maka kita dapat mengatakan bahwa panjangnya ialah 5 cm. Ini tidak berarti bahwa panjangnya 5 cm. Kita mengatakan bahwa pengukuran ini tepat sampai sentimeter terdekat, dan kita mengatakan bahwa satuan terkecil dari pengukuran ialah 1 cm. Jadi panjang sebenarnya ialah lebih dekat ke 5 cm dari pada ke 4 cm atau  ke 6 cm, yaitu panjangnya terletak pada suatu tempat antara 4,5 cm dan 5,5 cm dan kesalahannya sebesar-besarnya 0,5 cm. Kita mengatakan bahwa salah mutlaknya ialah 0,5 cm.
Perhatikan dari penjelasan gambar berikut ini bahwa batas atas panjang baut ialah 5,5 cm dan batas bawahnya ialah 4,5 cm Dengan demikian salah mutlak adalah setengah dari satuan ukuran terkecil.

                         5,5 cm  Batas atas pengukuran

                          5 cm  Pengukuran sampai cm terdekat

                           4,5 cm   Batas bawah pengukuran

                  0,5     0,5 cm   =  Salah Mutlak

Jadi dapat disimpulkan bahwa :



Contoh :
Seorang siswa dari program keahlian Tata Boga akan membuat kue,  bahan yang diperlukan 0,6 kg tepung dan 8 butir telor ayam.
Dari keadaan tersebut dapat diketahui aspek pengukuran sebagai berikut :
Tepung :
Satuan ukuran terkecil = 0,1 kg
Jadi salah mutlak  = ½  x 0,1 kg = 0,05 kg
Batas atas pengukuran = 0,65 kg
Batas bawah pengukuran = 0,55 kg
Telor :
Banyaknya telor ayam tepat 8 butir ( eksak )

2.    Salah Relatif
Besar kecilnya kesalahan sebetulnya dapat ditentukan oleh teliti tidaknya alat yang digunakan. Memilih alat ukur yang digunakan harus disesuaikan dengan kebutuhannya.
Misalnya : seseorang bekerja membuat garis pinggir dari suatu lapangan sepakbola. Suatu kesalahan sebesar 1 cm sampai 5 cm adalah relatif tidak penting. Akan tetapi, suatu kesalahan 1 cm saja yang di perbuat oleh seorang tukang kayu akan menggagalkan pekerjaannya. Demikian halnya jika kita membuat kue dengan tepung 2 kg, yang dibubuhi esens terlalu banyak  ½ cangkir, akibatnya kue itu tidak enak dimakan. Sering kali kita memandang suatu kesalahan dibandingkan dengan pengukuran yang sebenarnya. Karena itu kita menggunakan istilah salah relatif ( nisbi ).
Salah relatif dirumuskan sebagai berikut :



Contoh : 
Seorang siswa membeli kain yang panjangnya 2,5 meter dengan satuan ukuran terkecil  0,1 meter, berapakah salah relatif dari pengukuran yang dilakukan ?
Jawab  :   Salah mutlak  = ½  x 0,1 m = 0,05 m
Salah relatif  =     =  = 

3.    Persentase Kesalahan
Untuk menghitung persentase kesalahan dari suatu pengukuran , terlebih dahulu dicari salah relatif dari pengukuran itu, kemudian mengalikan dengan 100 % ( yaitu dengan 1 )
Jadi persentase kesalahan dirumuskan sebagai berikut :


Contoh :
Sepucuk surat setelah ditimbang, ternyata beratnya 0,8 gram.
Carilah persentase kesalahan pengukuran itu ?
Jawab  :  satuan ukuran terkecil = 0,1 gram
Salah mutlak  = ½  x 0,1 gram = 0,05 gram
Salah relatif  =    =    
Persentase kesalahan =    x  100 %  =  6,25  %